Symetrie a periodicita

Symetrické a periodické úlohy lze v systému PMD v zásadě řešit třemi způsoby:

U statických a dynamických úloh se v souboru name.i2 fixují posunutí uzlů, které leží v rovině symetrie, a to ve směru kolmém k této rovině. Protože se nulová posunutí mohou předepsat jen ve směru os globálního kartézského souřadného systému, lze takto postupovat jen tehdy, když jsou roviny symetrie rovnoběžné se souřadnými rovinami.

V úlohách vedení tepla stačí předepsat v souboru name.iB nulový tepelný tok ve směru kolmém na stěny prvků tvořících rovinu symetrie. Pro úlohy vedení tepla je tento postup zcela obecný.

U statických a dynamických úloh se v souboru name.i2 předepíší velmi tuhé pružiny nebo Winklerův podklad, které v rovině symetrie brání posunutí uzlů ve zvoleném směru. Na rozdíl od předchozího případu není tento postup vázán na globální souřadný systém, protože osy pružin mohou být libovolné. Tuhost pružin by měla být přibližně o 6 řádů větší, než je lokální tuhost tělesa v daném místě (což lze alespoň řádově odhadnout).

V úlohách vedení tepla a v lineárních elastostatických úlohách se deklaruje symetrický nebo periodický segment. Při pozdější eliminaci matice soustavy rovnic se příslušné okrajové podmínky automaticky vezmou v úvahu. Výhodou tohoto postupu je jednoduchost a možnost využít obecné symetrie nebo periodicity. Nevýhodou je omezení na úlohy vedení tepla a lineární elastostatické úlohy.

Síť se generuje běžným způsobem. V souboru name.i1 se na IP řádku zadá $\mathtt{KPER}=1$ a $\mathtt{NPSN}=N,$ kde $N$ je počet uzlů na ploše periodicity. Na RP řádku se zadá $\mathtt{ALPHA}=\alpha,$ kde $\alpha$ je úhel, kterým plocha periodicity (master) přejde v plochu protilehlou (slave). Celistvý násobek úhlu $\alpha$ nemusí nutně dávat $360^\circ,$ viz obrázek.

Formální podmínky pro periodický segment jsou:

• Ve 2D úlohách musí být střed otočení totožný s počátkem globálního kartézského souřadného systému.
• Ve 3D úlohách musí být osa otočení totožná s osou $z$ globálního kartézského souřadného systému.
• Uzly na master ploše se musí očíslovat od $1$ do $N.$ Pokud se na ploše periodicity vyskytují středové uzly prvků semi-loof, musí se očíslovat až jako poslední.
• Periodicky sdružené uzly na slave ploše se musí očíslovat ve stejném pořadí, od $\mathtt{J1}=\mathtt{NNOD}-N+1$ do $\mathtt{JN}=\mathtt{NNOD}.$
• Síť nesmí obsahovat žádný prvek, jehož některá stěna leží na master ploše a jiná jeho stěna na slave ploše. V takovém případě by se uzly jedné stěny prvku přečíslovaly na čísla uzlů druhé stěny a prvek by obsahoval různé uzly s totožnými čísly.

Poznámka
Souřadnice periodicky sdružených uzlů na slave ploše program automaticky dopočítá ze souřadnic uzlů na master ploše a úhlu $\alpha.$ Na souřadnicích periodicky sdružených uzlů zadaných v souboru name.i1 tedy nezáleží.

Síť se generuje běžným způsobem. V souboru name.i1 se na IP řádku zadá $\mathtt{KPER}=0$ a $\mathtt{NPSN}=N,$ kde $N$ je počet uzlů na ploše symetrie. Na RP řádku na hodnotě $\mathtt{ALPHA}$ nezáleží, úhel $\alpha$ se vypočítá ze souřadnic uzlu $1.$ Pro přesné určení úhlu $\alpha$ se uzel $1$ nesmí volit v blízkosti středu/osy otočení.

Formální podmínky pro symetrický segment jsou:

• Ve 2D úlohách musí být střed otočení totožný s počátkem globálního kartézského souřadného systému.
• Ve 3D úlohách musí být osa otočení totožná s osou $z$ globálního kartézského souřadného systému.
• Uzly na ploše symetrie se musí očíslovat od $1$ do $N.$ Na ploše symetrie se nesmí vyskytovat uzly s nulovým poloměrem.
• Protilehlá plocha symetrie, která je totožná se souřadnou osou/rovinou, se zadá běžným způsobem dle prvního odstavce.